MÔĐUN CHÉO TÁC ĐỘNG VÀ TÂM CỦA MÔĐUN CHÉO

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC: MÔĐUN CHÉO TÁC ĐỘNG VÀ TÂM CỦA MÔĐUN CHÉO

. Tính cấp thiết của đề tài

Môđun chéo (trên các nhóm) được J. H. C. Whitehead đưa ra cách đây gần 70 năm trong công trình của ông về lý thuyết đồng luân kết hợp [2]. Những ý tưởng về môđun chéo của Whitehead cũng như những ứng dụng của chúng đã được phát triển và giải thích trong cuốn sách viết chung của R. Brown, P. J. Higgins, R. Sivera [7]. Một vài tổng quát hóa của ý tưởng môđun chéo cũng được giải thích trong bài báo của G. Janelidze [1]. Khái niệm môđun chéo cũng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và phát triển theo các hướng khác nhau: mở rộng khái niệm môđun chéo, khai thác cấu trúc của môđun chéo, tìm kiếm các ứng dụng, … Gần đây, N. T. Quang và các cộng sự đã thu được một số kết quả thú vị liên quan đến việc mở rộng khái niệm môđun chéo và giải thích các bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo nhờ các kết quả của lý thuyết phạm trù [4], [ 5].

          Có thể nói, kể từ khi ra đời đến nay, môđun chéo đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học, bao gồm lý thuyết đồng luân, đồng điều và đối đồng điều nhóm, K- lý thuyết đại số, đồng điều cyclic, hình học vi phân, … Hiện nay, môđun chéo được xem như là một trong những cấu trúc đại số cơ bản. Việc tìm hiểu và tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về môđun chéo cũng như các vấn đề liên quan đến môđun chéo là có ý nghĩa và mang tính thiết thực. Trong bài báo “ Actions and automorphism of crossed modules” của tác giả Katherine Norrie [3] có giới thiệu ngắn gọn về môđun chéo tác động và tâm của môđun chéo. Do đó, làm rõ các vấn đề, chứng minh các tính chất và kết quả về môđun chéo tác động và tâm của môđun chéo là một yêu cầu rất tự nhiên.  Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài “Môđun chéo tác động và tâm của môđun chéo” làm đề tài nghiên cứu của mình.

2. Mục đích của đề tài

Mục đích của đề tài là nghiên cứu về môđun chéo và một số dạng thường gặp của môđun chéo,  xây dựng và trình bày một cách có hệ thống về môđun chéo tác động và tâm của môđun chéo.

3. Phương pháp nghiên cứu

            Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết: đọc, nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng các kỹ thuật chứng minh đặc thù của đại số để chứng minh các kết quả trong đề tài.

4. Dự kiến kết quả đạt được

– Trình bày tổng quan về môđun chéo và các dạng thường gặp của môđun chéo.

– Xây dựng và trình bày một cách có hệ thống về môđun chéo tác động và tâm của môđun chéo, bao gồm: khái niệm, ví dụ và các tính chất liên quan.

5. Nội dung nghiên cứu

          Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Nhóm

          1.1.1 Nhóm và nhóm con chuẩn tắc

          1.1.2 Tâm của nhóm

          1.1.3 Đồng cấu nhóm

          1.1.4 Ảnh và hạt nhân của đồng cấu nhóm

          1.1.5 Tập các tự đẳng cấu của một nhóm

1.2 Môđun chéo

          1.2.1 Khái niệm môđun chéo

          1.2.2 Ví dụ về môđun chéo

          1.2.3 Một số tính chất của môđun chéo

Chương 2: Môđun chéo tác động và tâm của môđun chéo

2.1 Tự đẳng cấu của môđun chéo

          2.1.1 Môđun  chéo con, môđun chéo con chuẩn tắc

          2.1.2 Đồng cấu môđun  chéo

          2.1.3 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu và tự đẳng cấu môđun chéo.

          2.1.4 Ảnh và hạt nhân của một đồng cấu môđun chéo

2.2 Nhóm Whitehead của một môđun chéo

          2.2.1 Nửa nhóm các dẫn xuất

          2.2.2 Nhóm Whitehead

2.3 Môđun chéo tác động

          2.3.1 Xây dựng môđun chéo tác động

          2.3.2 Ví dụ về môđun chéo tác động

2.4 Tâm của môđun chéo

6. Tài liệu tham khảo

Tiếng Anh

[1] G. Janelidze, Internal crossed modules, Georgian Math. J., (2003), No.1, 99Ọ114.

[2] J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy II, Bull. Amer. Math. Soc 55 (1949), 453-496.

[3] Katherine Norrie, Actions and automorphisms of crossed modules, School of Mathematics, Univ.

[4] N. T. Quang, P. T. Cuc, Equivariant crossed modules and cohomology of groups with operators, Bulletin of Korean Mathematical Society, No.4, Vol 52 (2015), pp 1077 – 1095

[5] N. T. Quang, P. T. Cuc, N. T. Thuy, Crossed modules and strict Gr-categories, Communications of  Korean Mathematical Society, Vol.29, No.1 (2014), 9-22.

[6] Pham Thi Cuc, Some main occurrences of crossed modules, Science Journal of Hongduc University (to appear).

[7] R.Brown, P.J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian algebraic topology: fil- tered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics, Vol. 15, 703 pages ( August 2011).

7. Dự kiến kế hoạch thực hiện

– Từ tháng 11 đến tháng 12 năm 2017: Đọc và nghiên cứu tài liệu, hoàn thành Đề cương nghiên cứu.

– Từ tháng 01 đến tháng 3 năm 2018: Đọc và nghiên cứu tài liệu, hoàn thành nội dung Chương 1.

– Từ tháng 3 đến tháng 7 năm 2018: Đọc và nghiên cứu tài liệu, hoàn thành nội dung Chương 2.

– Từ tháng 7 năm 2018 trở đi: Hoàn thành luận văn và các hồ sơ, thủ tục có liên quan để chuẩn bị bảo vệ tốt nghiệp.

Liên hệ dịch vụ viết bài:

Hotline/Zalo: 0967538624 Ms Huyền/ 0886091915 Ms Trang

Email: Lamluanvan123@gmail.com

Website: https://lamluanvan.net/

Luận Văn Group

Chào các bạn! Mình làm công việc quản trị nội dung của trung tâm Luận Văn Group. Công việc  này  đã gắn bó với mình được hơn 10 năm, mình tốt nghiệp trường Kinh Tế Quốc Dân, có sở thích là viết các đề tài nghiên cứu và viết luận, các bạn muốn sử dụng dịch vụ bên mình vui lòng liên hệ qua website: https://lamluanvan.net/. Rất mong được sự ủng hộ của các bạn!